调查问卷的有效性(2)相对误差

\begin{equation}Pr(|\hat{p}-p|\geq 5\%)\leq 5\%\end{equation}

上一回我们讲到当p本身很小的时候,容易被5%(绝对误差)给淹没掉,导致结果的不可信。我们可以引入相对误差,把(1)式转换为如下的不等式

\begin{equation}Pr(|\hat{p}-p|\geq\delta p)\leq\epsilon\end{equation}

同理,我们可以用

\begin{equation}\hat{p}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}\end{equation}

代替\hat{p}(建议先看上一篇博客),转换为

\begin{equation}Pr(|X-np|\geq\delta np)\end{equation}

类似的,X=x_1+x_2+...+x_nE(X)=\mu=np,所以(4)式等价为

\begin{equation}Pr(|X-\mu|\geq\delta\mu)\end{equation}

这个时候,因为不等号右边和均值\mu有关,不能再用切比雪夫不等式了,我们需要另外一个武器:Chernoff bound。它有两种形式:

\begin{equation}Pr(X\geq (1+\delta)\mu)\leq[\frac{e^\delta}{(1+\delta)^{1+\delta}}]^\mu\leq e^{-\frac{\mu}{3}\delta^2}\quad\forall\delta>0\end{equation}

\begin{equation}Pr(X\leq (1-\delta)\mu)\leq[\frac{e^{-\delta}}{(1-\delta)^{1-\delta}}]^\mu\leq e^{-\frac{\mu}{2}\delta^2}\quad\forall 0<\delta<1\end{equation}

Chernoff bound的证明需要用到马尔可夫不等式,有一点技巧。以上两种形式可以统一成

\begin{equation}Pr(|X-\mu|\geq\delta\mu)\leq 2e^{-\frac{\mu}{3}\delta^2}\end{equation}

也是一个很漂亮的不等式。

利用Chernoff bound求解(5)式:

\begin{equation}Pr(|X-\mu|\geq\delta\mu)\leq 2e^{-\frac{\mu}{3}\delta^2}\\=2e^{-\frac{np}{3}\delta^2}\leq\epsilon\end{equation}

解得

\begin{equation}n\geq\left\lceil\frac{3ln\frac{2}{\epsilon}}{p\delta^2}\right\rceil\end{equation}

这个结果看起来就很复杂了。也就是说,如果要设计调查问卷使满足(2)式的精度,抽样的样本数必须满足(10)式。从(10)式可知,当要求的精度越高(即\delta\epsilon越小),所需的样本数越大。并且结果还和真实值p有关。

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