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随机矩阵及其特征值

随机矩阵是这样一类方阵,其元素为非负实数,且行和或列和为1。如果行和为1,则称为行随机矩阵;如果列和为1,则称为列随机矩阵;如果行和和列和都为1,则称为双随机矩阵。

前面我们介绍的谷歌矩阵HMM中的转移矩阵都属于随机矩阵,所以随机矩阵也称为概率矩阵、转移矩阵、或马尔可夫矩阵。

随机矩阵有一个性质,就是其所有特征值的绝对值小于等于1,且其最大特征值为1。下面通过两种方法证明这个结论。

首先,随机矩阵A肯定有特征值1,即

\begin{equation}A\vec 1=1\times\vec 1\end{equation}

其中的单位向量\vec 1=(\frac{1}{n},...,\frac{1}{n})^T,因为A的行和为1,所以上述等式成立。即1是A的特征值。 Continue reading