Softmax

今天开始介绍大名鼎鼎的NLP网课Stanford-CS224N。第一讲内容为课程简介和词向量。 词向量即用来表示这个词的含义的向量。早期的NLP常用one-hot编码来表示词向量，假如词典中共有10000个词，则这个one-hot向量长度就是10000，该词在词典中所处位置对应的值为1，其他值为0。 one-hot表示方法虽然简单，但其有诸多缺点：1. 词典中的词是不断增多的，比如英语，通过对原有的词增加前缀和后缀，可以变换出很多不同的词，one-hot编码会导致向量维度非常大，且每个向量是稀疏的；2. 不同词的one-hot编码向量是垂直的，在向量空间中无法表示近似关系，即使两个含义相近的词，它们的词向量点积也为0。 既然one-hot编码有这么多缺点，那我们就换一种编码，one-hot是高维稀疏向量，那新的编码就改用低维稠密向量，这样就解决了上述问题，那么怎样得到一个词的低维稠密的词向量呢？这就是word2vec算法。 word2vec采用了分布式语义的方法来表示一个词的含义。本质上，一个词的含义就是这个词所处的上下文语境。回想一下我们高中做英语完形填空时，一篇短文，挖了好多空，让我们根据空缺词的上下文语境选择合适的词。也就是说上下文语境已经能够确定这个词的含义了，如果选词正确，也就意味着我们理解了这个空缺词的含义。 word2vec算法发表于2013年，包括两种训练算法Skip-grams (SG)和Continuous Bag of Words (CBOW)，这两种方法很类似，其中CBOW和上述介绍到的英语完形填空几乎是一样的，由上下文词预测中心词；而SG则和CBOW正好相反，由中心词预测上下文词，本文主要介绍SG算法。 给定一个语料库，这个语料库包含了很多文章，每篇文章又包含很多句子，每个句子又包含很多词语。所以一个语料库是一个天然的标注集，因为对于每一个选定的中心词，我们都知道其临近的词是什么。这样一个（中心词，临近词）对就构成了一个标注集。SG算法的中心思想就是对于每个选定的中心词，尽量准确的预测其周围可能出现的词的概率分布。具体来说，SG算法首先随机初始化每个词的词向量；然后预测不同临近词出现的概率，最后最大化实际临近词出现的概率。 形式化来说，就是用极大似然估计的方法，求解每个词的词向量。其目标函数如下，其中\(\theta\)是待求解的参数；\(t\)为选定的中心词位置；对于每个\(t\)（外层\(\prod\)），估计其邻域\(\pm m\)个词出现的概率（内层\(\prod\)）。 求解极大似然估计的方法比较成熟，一般先把极大似然转换为最小化-log似然，然后用梯度下降求解。所以核心问题就变成了如何求解\(P(w_{t+j}|w_t;\theta)\)。 对于每个词\(w\)，定义其两个词向量：\(v_w\)表示当\(w\)为中心词时的词向量，\(u_w\)表示当\(w\)为其他词的临近词时的词向量。则对于一个中心词\(c\)和其临近词\(o\)，有： 上式本质是一个softmax函数，因为给定\(c\)，\(o\)相当于是标注结果，所以把它们的点积作为分子，希望分子越大越好；而分母则是所有可能的\(u_w\)和\(v_c\)的点积之和，起到归一化作用。 题外话：讲这张幻灯片时，还提到softmax的一个形象解释。softmax包括max和soft两层含义。假设对于一个数组[1,2,3,4]，直接max也就是hard max的结果是保留最大值，其他全变为0，即[0,0,0,4]。但是softmax对他们求\(\frac{exp(x_i)}{\sum_{j=1}^nexp(x_j)}\)，变成了[0.03, 0.09, 0.24, 0.64]，最大的还是第4个数，但第四个数的优势被放大了，原来4只是1的4倍，现在0.64是0.03的21倍。所以softmax不但保留了max的属性，还变得更soft了，原来小的数不会被抹为0，只不过拉大了差异。 使用梯度下降还需要求解\(P\)对参数\(\theta\)的梯度，在这里\(\theta\)代表了所有词的中心词向量和临近词向量。对于上式，\(u_o\)、\(v_c\)等就是\(\theta\)的一部分。不断利用求导的链式法则，容易得到： $$\begin{eqnarray}\frac{\partial P(o|c)}{\partial v_c}=u_o-\sum_{w\in V}P(w|c)u_w.\tag{1}\end{eqnarray}$$最后算出来的梯度很有意思，\(u_o\)表示观察到的上下文词向量（o表示observed），减号后面的是这个位置的期望的词向量，期望=概率*值。差值就是真实观察词向量减去期望词向量，这就是梯度。当它们的差值很小时，说明给定\(c\)能很好的预测其临近词的概率分布。 OK，当以上内容都准备妥当之后，我们就可以开始求解词向量了。首先随机初始化每个词\(w\)的中心词向量\(v_w\)和临近词向量\(u_w\)；然后求解-log损失函数\(J(\theta)\)；最后根据梯度下降更新所有参数\(\theta\)。 上述word2vec算法简单，直观，但写代码实现比较复杂。在实际应用场景中，人们往往使用神经网络的方法来求解词向量，具体教程请看这里： http://mccormickml.com/2016/04/19/word2vec-tutorial-the-skip-gram-model/ 。 我们把训练词向量的问题转换为端到端的文本分类问题。如下图所示，对于语料库中的一个句子，假设临近窗口为前后两个词，则可以抽取出如下图右边所示的训练样本，每个训练样本是一个（中心词，临近词）的pair。比如对于（the, quick）训练样本，我们希望神经网络在输入the这个中心词时，能以较高的概率预测出quick这个词。 网络的结构如下图所示，也非常简单，是仅含一个隐藏层的全连接网络。比如上图的一组训练数据是（the, quick），表示输入是the的one-hot编码，输出是quick的one-hot编码。假设词典里有10,000个不同的词，则one-hot编码长度为10,000。有一个隐藏层的全连接网络，对应权重构成两个权重矩阵，和输入层连接的矩阵为\(V\)，其每一行表示词作为中心词时的词向量。输入行向量乘以\(V\)正好得到输入词的词向量，这对应课上讲的作为中心词的词向量\(v_c\)。 隐层和输出层连接的权重矩阵为\(U\)，其每一列表示输出层的词的临近词词向量。隐层的行向量\(v_c\)乘以矩阵\(U\)，得到词\(c\)的临近词的概率分布，再经过softmax激活，进行归一化。其实反过来看，从输出往隐层看，相当于输出层的行向量乘以\(U\)的转置，得到隐层词向量。这其实就是另一种训练词向量的方法CBOW，即英语完形填空，用临近词来预测中心词。 对于下图的神经网络，输出用softmax激活，损失函数使用-log损失，训练网络时使用梯度下降，其效果正好是课上讲的使用极大似然估计的方法！ 另一方面，上图的这种结构是skip-gram模型，如果把对应的箭头反一下，输入变输出，输出变输入，其实就变成了CBOW模型了。 上述全连接网络虽然能很方便的计算词向量，但存在两个问题：1. 网络过于庞大，参数量太多；2. 训练样本太多，每个样本都更新所有参数，训练速度慢。针对这两个问题，作者分别提出了 subsampling 和 negative sampling 的技巧，具体请看教程： http://mccormickml.com/2017/01/11/word2vec-tutorial-part-2-negative-sampling/ 。 第一个问题，网络参数量太多。假设有1w个特异的词，词向量长度为300，整个网络就有两个300w的矩阵（上图的V和U）参数需要优化。另一方面，训练语料库往往是很大的，随随便便就是成百上千万的文章，由此拆分得到的训练词组对就更大了，很容易到上亿的级别。几百万的参数，几亿的训练数据， 导致网络太过庞大，训练不动。 subsampling技巧是指，每个词有一个保留概率p，以这个概率p保留其在训练数据中，以1-p删掉这个词。比如上面的例子，删掉了fox，则fox对应的4个训练数据也一并删掉了，所以能减少较多的训练数据。对于词\(w_i\)，其概率\(P(w_i)\)公式如下，其中\(z(w_i)\)是词\(w\)的词频。概率p和这个词在语料库中的词频有关，词频越大，保留概率越低，即被删掉的概率越大，所以subsampling之后应该能较大的减少训练数据。 $$\begin{eqnarray}P(w_i) = (\sqrt{\frac{z(w_i)}{0.001}} + 1) \cdot \frac{0.001}{z(w_i)} .\tag{2}\end{eqnarray}$$ 第二个问题，原来的网络在训练时，对于每个输入中心词，都会对两个很大的参数矩阵V和U（和上面假设一样，300w）进行轻微的更新，更新操作太多了。 negative sampling技巧，只更新一小部分参数。比如对于(“fox”, “quick”)，期望的输出是quick的one-hot，即只有quick对应位为1，其他为0。但网络的softmax输出肯定不可能是完完全全的quick为1，其他为0；有可能是quick为0.8，其他位有些0.001，0.03之类的非0值，这就导致输出层的所有神经元都有误差。按照传统的方法，输出层所有神经元对应的U矩阵的权重都要更新。negative sampling技巧是，只更新和quick连接的U权重以及随机选5个输出神经元的连接权重进行更新，这样一下把需要更新的U权重个数从300w降到了6*300=1800，只需要更新0.06%的参数，大大减小了参数更新量！ 5个随机选中的神经元（输出位置，即对应1w维的某个词）被称为negative sample，被选中的概率和词频成正比，词频越大的词被选中的概率越大，和上面subsampling类似。概率公式如下，其中\(f(w_i)\)应该和(2)中的\(z(w_i)\)一样，都表示词频。 $$\begin{eqnarray}P(w_i) = \frac{ {f(w_i)}^{3/4} }{\sum_{j=0}^{n}\left( {f(w_j)}^{3/4} \right) }.\tag{3}\end{eqnarray}$$ 作业请见GitHub： https://github.com/01joy/stanford-cs224n-winter-2019/blob/master/1.8/assignment/a1/exploring_word_vectors.ipynb ...

原文的第三章内容较多，本博客将分三个部分进行介绍：梯度消失、过拟合与正则化、权重初始化及其他，首先介绍梯度消失问题。 为简单起见，假设网络只包含一个输入和一个神经元，网络的损失是均方误差损失MSE，激活函数是Sigmoid函数。则该网络的参数只包含权重\(w\)和偏移量\(b\)。我们想训练这个网络，使得当输入为1时，输出0。 假设我们随机初始化\(w_0=0.6\)，\(b_0=0.9\)，则网络的损失随着训练的epoch变化曲线如下，看起来挺好的，一开始损失下降很快，随着epoch增加，损失下降逐渐平缓，直至收敛。 但是，如果随机初始化\(w_0=2.0\)，\(b_0=2.0\)，则网络的损失一开始下降得很缓慢，要训练到快200个epoch时，损失才快速下降。可以看到同样是300个epoch，由于初始化权重的差别，损失下降的趋势完全不一样，而且对于下面这种情况，到300个epoch时，损失还有下降的空间，所以期望的output不如上面的接近目标值0。 为什么同样的网络，只是因为初始化权重的差异，损失的变化曲线却相差这么多呢，这和我们选择的损失函数与激活函数有关。 回顾一下，我们在上一讲的末尾介绍到如果损失函数是MSE且激活函数是Sigmoid时，有\(\delta^L = (a^L-y) \odot \{\sigma(z^L)(1-\sigma(z^L))\}\)，又因为网络只有一个神经元，所以梯度如下： $$\begin{eqnarray}\frac{\partial C}{\partial w} & = & (a-y)\sigma'(z) x = a \sigma'(z),\tag{1}\\\frac{\partial C}{\partial b} & = & (a-y)\sigma'(z) = a \sigma'(z)\tag{2}\end{eqnarray}$$其中第二个等号是把\(x=1\)和\(y=0\)带入得到的。由此可见，误差对两个参数\(w\)和\(b\)的梯度都和激活函数的导数有关，因为激活函数是Sigmoid，当神经元的输出接近0或1时，梯度几乎为0，误差反向传播就会非常慢，导致上图出现损失下降非常慢的现象。这就是梯度消失的原因。 为了解决这个问题，我们可以采取两种策略，一是替换损失函数，一是替换激活函数。 第一种方法是将MSE的损失函数替换为交叉熵损失函数，激活函数依然是Sigmoid。我们考虑一个比本文开头更复杂的网络，仍然是一个输出神经元，但包含多个输入神经元。 此时，交叉熵损失函数定义如下，其中的\(n\)表示训练样本数，\(\frac{1}{n}\sum_x\)表示对所有输入样本\(x\)的交叉熵损失求均值。 $$\begin{eqnarray}C = -\frac{1}{n} \sum_x \left[y \ln a + (1-y ) \ln (1-a) \right]\tag{3}\end{eqnarray}$$我们首先考察为什么(3)可以是一个损失函数，损失函数需要满足如下两个条件： 非负； 当网络输出和目标答案越接近，损失越小；反之损失越大。 简单代入几组不同的样本很容易验证交叉熵满足上述两个条件 ，所以交叉熵可以作为一个损失函数。 下面我们再考察一下为什么交叉熵损失函数+Sigmoid激活函数可以解决梯度消失的问题。首先推导交叉熵损失\(C\)对权重\(w_j\)和\(b\)的梯度： $$\begin{eqnarray}\frac{\partial C}{\partial w_j} & = & -\frac{1}{n} \sum_x \left(\frac{y }{\sigma(z)} -\frac{(1-y)}{1-\sigma(z)} \right)\frac{\partial \sigma}{\partial w_j} \tag{4}\\& = & -\frac{1}{n} \sum_x \left(\frac{y}{\sigma(z)}-\frac{(1-y)}{1-\sigma(z)} \right)\sigma'(z) x_j\tag{5}\\& = & \frac{1}{n}\sum_x \frac{\sigma'(z) x_j}{\sigma(z) (1-\sigma(z))}(\sigma(z)-y).\tag{6}\end{eqnarray}$$上式分子Sigmoid的导数正好可以和分母抵消，得到： ...